Question

（本題滿分12分）

兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(-3，-1),并且各自繞著A,B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d.

求：1）d的變化范圍；

2）當d取最大值時兩條直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) (0，3]．(2) 3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

【解析】(1)兩直線的最大距離為直線與線段AB垂直時，距離最大，最大值為|AB|=.所以d的變化范圍為.

(2)由于當d最大時，AB與直線垂直，所以可以利用AB的斜率求出直線的斜率，進而求出其直線方程.

(1)方法一：①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x＝6和x＝－3，則它們之間的距離為9.                         ………………2分

②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為

l₁：y－2＝k(x－6)，l₂：y＋1＝k(x＋3)，

即l₁：kx－y－6k＋2＝0，l₂：kx－y＋3k－1＝0，  ………………4分

∴d＝＝.                 ………………6分

即(81－d²)k²－54k＋9－d²＝0.                   ………………8分

∵k∈R，且d≠9，d＞0，

∴Δ＝(－54)²－4(81－d²)(9－d²)≥0，即0＜d≤3且d≠9. ………………12分

綜合①②可知，所求d的變化范圍為(0,3]．

方法二：如圖所示，顯然有0＜d≤|AB|.

而|AB|＝＝3.

故所求的d的變化范圍為(0，3]．

(2)由圖可知，當d取最大值時，兩直線垂直于AB.

而k_AB＝＝，

∴所求直線的斜率為－3.  故所求的直線方程分別為

y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.