Question

已知圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）和直線θl：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

（其中t為參數，α為直線l的傾斜角）
（1）當α=

2π

3

時，求圓上的點到直線l的距離的最小值；
（2）當直線l與圓C有公共點時，求α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圓C、直線l化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，再根據圓上點到直線的距離最小值一般為圓心到直線的距離減半徑可求出所求．
（2）把直線的參數方程化為普通方程，把圓的參數方程化為直角坐標方程，根據圓心到直線的距離小于或等于半徑，求得tanα≥

3

3

，由此求出傾斜角α的范圍．

解答：解：（1）圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）的直角坐標方程為（x-1）²+y²=1，
當α=

2π

3

時，直線直線l：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

的直角坐標方程為

3

x+y-3

3

=0
圓心到直線的距離為：

| 3 -3 3 |

2

=

3

所以圓上的點到直線的距離的最小值為

3

-1．
（2）∵直線l的參數方程為l：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

（t為參數，α為直線l的傾斜角），
消去參數t化為普通方程為tanα•x-y-2tanα+

3

=0．
圓C化為直角坐標方程為（x-1）²+y²=1，
表示以C（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．
根據圓心C到直線的距離d=

|-tanα+  3 |

1+tan2α

≤1，
解得tanα≥

3

3

．
再由傾斜角α∈[0，π） 可得，

π

6

≤α＜

π

2

，
故α的取值范圍為[

π

6

，

π

2

）．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．