Question

（13分）已知函數f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）
（1）若b=2,且h（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調，求a的取值范圍；
（2）若a=1,b=-2設f（x）的圖象C₁與g（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，M、N的橫坐標是m，求證：f＇（m）＜g＇（m）。

Answer 1

（1）h（x）=lnx--2x,x，ｈ＇（x）=在（0，+）有實根，且不為重根。解得：a(-1,0)（0，+）。
（2）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，以及不等式的恒成立的證明。
（1）因為h（x）=lnx--2x,x
ｈ＇（x）=在（0，+）有實根，且不為重根。
得到證明。
（2）f＇（ｘ）= g＇（x）=x-2
設P（x₁,y₁） Q（x₂,y₂）,且x₁＜x₂
PQ中點為（），只要證明即可。分析法證明。
解：（1）h（x）=lnx--2x,x
ｈ＇（x）=在（0，+）有實根，且不為重根。
解得：a(-1,0)（0，+）。（6分）
（2）f＇（ｘ）= g＇（x）=x-2
設P（x₁,y₁） Q（x₂,y₂）,且x₁＜x₂
PQ中點為（），只要證明-2
又只要證明：
只要證明：  令
只要證明：，
令：F（t）=lnt- 可證得：F＇（t）＞0，所以F（t）在范圍內為增函數又F（1）="0" ，所以F（t）＞0在范圍內恒成立
得證。