Question

如圖已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個端點M在DD₁上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則MN中點P的軌跡與直平行六面體的面所圍成的幾何體的體積為

2π

9

．

Answer 1

分析：先推導點P的軌跡，從而確定點P與平行六面體所圍成的幾何體的形狀，然后求幾何體的體積

解答：解：取AB的中點E連接DE，由題意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD₁所在直線為z軸建立如圖空間直角坐標系
設M（0，0，z），N（x，y，0），則P（

x

2

，

y

2

，

z

2

）
MN=

x2+y2+z2

=2
∴x²+y²+z²=4
∴

x2

4

+

y2

4

+

z2

4

=(

x

2

)2+(

y

2

)2+(

z

2

)2=1
∴OP²=1
即OP=1
∴點P的軌跡是以原點D為球心，以1為半徑的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴點P的軌跡是球的

1

6

∴幾何體的體積為V=

1

6

× 

4

3

π×13=

2π

9

故答案為：

2π

9

點評：本題考查幾何體的體積，須先用代數法確定點的軌跡，然后熟練應用體積公式即可．屬中檔題