Question

已知定義在實數集上的函數f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為f_n′（x），且滿足：f2′[x1+

1

λ

(x2-x1)]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，λ，x1，x2為常數．
（Ⅰ）試求λ的值；
（Ⅱ）設函數f_2n-1（x）與f_n（1-x）的乘積為函數F（x），求F（x）的極大值與極小值；
（Ⅲ）若g_n（x）=e^x•f_n（x），試證明關于x的方程

gn′(1+x)

gn+1′(1+x)

=

λn-1

λn+1-1

在區間（0，2）上有唯一實數根；記此實數根為x（n），求x（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用求導公式求函數的導數，令n=2，代入等式求λ；
（2）利用導數公式求函數的導數，畫圖求函數的單調性，根據導數求極值；
（3）利用導數求導和利用數學歸納法，在當a=1時和當a≥2時的條件下證明．

解答：解：（1）f₂′（x）=2x，∴2[x₁+

1

λ

（x₂-x₁）]=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

∴x₂+x₁=2x₁+

2

λ

（x₂-x₁）?λ=2
（2）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=x^2n-1•（1-x）ⁿ，則
①當n=1時，y=x-x²，y′=1-2x，令y′=0，得x=

1

2

，x∈（-∞，

1

2

），y′＞0
x∈（

1

2

，+∞），y′＜0，所以，當x=

1

2

時，y極大=

1

4

，無極小值；
②當n≥2時，y′=-n（1-x）^n_•x2n-1+（2n-1）x^（2n-2）．（1-x）^n=_x2n-1．（1-x）n[（2n-1）-（3n-1）x]
令y′=0則x₁=0，x₂=

2n-1

3n-1

，x₃=1且x_1^＜x_2^＜x₃
①當n為正偶數時，隨x的變化，y′和y的變化如下：
當n為正偶數時，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2n-1 3n-1 ）	2n-1 3n-1	（ 2n-1 3n-1 ，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值		極小值

所以當x=

2n-1

3n-1

時，y_極大=

（2n-1）2n-1?6?1nn

（3n-1）3n-1

；當x=1時，y_極小=0．…（7分）

點評：該題考查函數的求導公式，和數學歸納法的使用，注意畫圖，有點難度