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已知an= $數學公式$ n∈N*求證：an＜1．

證明：（1）當n=1時，a₁= $\text{[math]}$ ＜1，不等式成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，不等式成立，即a_k= $\text{[math]}$ ＜1
亦即1+2²+3²+…+k²＜（k+1）k
當n=k+1時：a_k+1= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）k＜1．
所以n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）知，對一切n∈N*，不等式都成立．
即a_n＜1得證．
分析：首先分析題目已知a_n= $\text{[math]}$ 求證：a_n＜1．考慮到可以應用數學歸納法求解，首先驗證當n=1時，不等式成立，再假設n=k（k≥1）時，不等式成立，推得當n=k+1時不等式也成立．即得證．
點評：此題主要考查由數學歸納法證明不等式，數學歸納法在高考中屬于重要的考點，應用廣泛，需要同學們靈活掌握．

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設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f(x)=

+log2

1-x

的圖象上兩點，且

(

)，O為坐標原點，已知點M的橫坐標為

．
（Ⅰ）求證：點M的縱坐標為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=

n-1

i=1

)=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_n，設an=

2Sn+1

(n∈N*)．若對于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，試求實數k的取值范圍．

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（2013•西城區一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．對于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定義

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A與B之間的距離為d(A，B)=

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）當n=5時，設A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）（ⅰ）證明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

=λ

，則d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）設A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使

=λ

？說明理由；
（Ⅲ）記I=（1，1，…，1）∈S_n．若A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

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已知{a_n}是正數組成的數列，a₁=1，且點 $數學公式$ 在函數y=x²+1的圖象上．數列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^）．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
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已知{a_n}是正數組成的數列，a₁=1，且點

在函數y=x²+1的圖象上．數列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
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（II）若c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和S_n．

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已知{a_n}是正數組成的數列，a₁=1，且點

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練習冊

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已知an=n∈N*求證：an＜1．

已知{an}是正數組成的數列，a1=1，且點在函數y=x2+1的圖象上．數列{bn}滿足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．（I）求數列{an}，{bn}的通項公式；（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數列{cn}的前n項和Sn．

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