Question

求關于x的方程ax²-（a²+a+1）x+a+1=0至少有一個正根的充要條件．

Answer 1

分析：法一：對a-0和a≠0進行分類討論，至少有一個正根△≥0解出無正根的情況即可．
法二：對a-0和a≠0進行分類討論，至少有一個正根，列出它的所有情況一一求解即可．

解答：解：法一：若a=0，則方程即為-x+1=0，
∴x=1滿足條件；
若a≠0，∵△=（a²+a+1）²-4a（a+1）
=（a²+a）²+2（a²+a）+1-4a（a+1）
=（a²+a）²-2a（a+1）+1=（a²+a-1）²≥0，
∴方程一定有兩個實根．
故而當方程沒有正根時，應有

a2+a+1 a ≤0 a+1 a ≥0

，解得a≤-1，
∴至少有一正根時應滿足a＞-1且a≠0，
綜上，方程有一正根的充要條件是a＞-1．
方法二：若a=0，則方程變為-x+1=0，x=1滿足條件，若a≠0，
則方程至少有一個正根等價于

a+1

a

＜0或

a+1=0 a2+a+1 a ＞0

或

a2+a+1 a ＞0 a+1 a ＞0 (a2+a+1)2-4a(a+1)≥0

?-1＜a＜0或a＞0．
綜上：方程至少有一正根的充要條件是a＞-1．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，考查分類討論的思想，是中檔題．