Question

【題目】已知定義域為R的函數 是奇函數．
（1）求a值；
（2）判斷并證明該函數在定義域R上的單調性；
（3）設關于x的函數F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的定義域為R且為奇函數，

∴f（0）= =0，解得a=1，經檢驗符合．

（2）解：∵ ，f（x）在R上位減函數

證明：設x1＜x2，

則 ，（∵ ）

∴f（x）在R上是減函數．

（3）解：由F（x）=0，

得f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0，

∵函數f（x）是奇函數

∴f（4x﹣b）=f（2x+1）

即4x﹣b=2x+1有解，

∴b=4x﹣2x+1=（2x）2﹣22x≥﹣1，

∴實數b的取值范圍是b≥﹣1

【解析】（1）利用函數是奇函數，由f（0）=0，即可求a值；（2）利用函數單調性定義判斷并證明該函數在定義域R上的單調性；（3）利用函數的奇偶性和函數零點的定義，求b的取值范圍．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．