Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，離心率.過橢圓的右焦點作直線l（不與軸重合）與橢圓交于不同的兩點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線恰好關于軸對稱?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點滿足條件．

【解析】

（1）由題意知，，解出即可；

（2）由題意，設，，定點（依題意，），設直線的方程為，與橢圓的方程聯立并消元，得，，根據題意，化簡整理得，解出即可．

解：（1）由題意知，，

解得，

∴橢圓的方程為：；

（2）存在定點，滿足直線與直線恰好關于軸對稱；

由題設知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，

與橢圓的方程聯立，消元整理得，

設，，定點（依題意，），

由韋達定理可得，，，

直線與直線恰好關于軸對稱，則直線與直線的斜率互為相反數，

∴，即，

又，

∴，

整理得，，

∴，即，

∴當，即時，直線與直線恰好關于軸對稱，

綜上：在軸上存在點，滿足直線與直線恰好關于軸對稱．