Question

現在“汽車”是很“給力”的名詞．汽車廠商對某款汽車的維修費進行電腦模擬試驗，分別以汽車使用年限n和前n年累計維修費S_n（萬元）為橫、縱坐標繪制成點，發現點（n，S_n）在函數y=ax²+bx（a≠0）的圖象上（如圖所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．
（1）求出累計維修費S_n關于使用年數n的表達式，并求出第n年得維修費；
（2）汽車開始使用后每年均需維修，按國家質量標準規定，出售后前兩年作為保修時間，在保修期間的維修費用由汽車廠商承擔，保修期過后，汽車維修費用有車主承擔．若某人以9.18萬元的價格購買這款品牌車，求年平均耗資費的最小值．（年平均耗資費=

車價+車主承擔的維修費

使用年數

）

Answer 1

分析：由A（5，1.05）與B（10，4.1）在函數y=ax²+bx（a≠0）的圖象上，
可得a=0.04，b=0.0則有 y=0.04x²+0.01x
再由（n，S_n）在y=0.04x²+0.01x 知S_n=0.04n²+0.01n，利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1可求a_n
（2）根據題意可得車價+車主承擔的維修費=0.04n²+0.01n-0.18+9.18=0.04n²+0.01n+9萬元從而年平均耗資

0.04n2+0.01n+9

n

，利用基本不等式可求

解答：解：由A（5，1.05）與B（10，4.1）在函數y=ax²+bx（a≠0）的圖象上得

1.05=25a+5b 4.1=100a+10b

解得a=0.04，b=0.01
所以 y=0.04x²+0.01x
由（n，S_n）在y=0.04x²+0.01x 知S_n=0.04n²+0.01n
n=1，a₁=S₁=0.05
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=0.08n-0.03
所以，a_n=0.08n-0.03
（2）由于在保修期間的維修費用由車企業承擔
所以當n≥3時，車主所承擔的累計維修費為：a₃+a₄+…+a_n=S_n-S₂=0.04n²+0.01n-0.18萬元
車價+車主承擔的維修費=0.04n²+0.01n-0.18+9.18=0.04n²+0.01n+9萬元
年平均耗資為

0.04n2+0.01n+9

n

=0.04n+

9

n

+0.01≥2

0.04n• 9 n

+0.01=1.21萬元
當且僅當n=15取等號
即使用15年這款汽車的年平均耗資費用最少為1.21萬元

點評：本題主要考查了利用基本不等式解決實際問題，在應用基本不等式解決實際應用問題是高考應用命題的重點之一不等式的應用題大多與函數、數列結合出現，屬于綜合試題在解決范圍問題或求最值時，基本不等式為主要工具，從而解決實際問題．