Question

已知P是圓C：(x-1)2+(y-

3

)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（

3

，1），則

OP

•

OA

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：如圖，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)向量

OP

在向量

OA

上的射影最小時(shí)，

OP

•

OA

取到最小值．由此根據(jù)題中的圓C方程與點(diǎn)A坐標(biāo)加以計(jì)算，可得

OP

•

OA

的最小值．

解答：解：圓C：(x-1)2+(y-

3

)2=1的圓心為C（1，

3

），半徑r=1
如圖，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，
設(shè)D（

3

λ，λ），可得

CD

=（

3

λ-1，λ-

3

），
由

OA

⊥

CD

，得

OA

•

CD

=

3

(

3

λ-1)+(λ-

3

)=0，
解之得λ=

3

2

，可得D（

3

2

，

3

2

），|

OD

|=

9 4 + 3 4

=

3

．
根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)向量

OP

在向量

OA

上的射影最小時(shí)，

OP

•

OA

取到最小值．
∵|

OQ

|_min=|

OT

|=|

OD

|-1=

3

-1．
∴

OP

•

OA

_min=|

OA

|?|

OQ

|_min═|

OA

|?|

OT

|=2（

3

-1）
故答案為：2（

3

-1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P是圓C上一點(diǎn)，A點(diǎn)在圓C外，求數(shù)量積

OP

•

OA

的最小值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、直線與圓的方程等知識(shí)，屬于中檔題．