Question

[文]已知不等式x²+px+1＞2x+p．
（1）如果不等式當|p|≤2時恒成立，求x的范圍；
（2）如果不等式當2≤x≤4時恒成立，求p的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）是對|p|≤2時恒成立，可看作關于p的一次不等式恒成立，只要兩端點滿足要求即可；
（2）是對2≤x≤4時恒成立，可用分離參數求最值，或者轉化為二次函數求最值，結合二次函數圖象解決即可．
解答：解：（1）原不等式為（x-1）p+（x-1）²＞0，
x=1時，有（x-1）p+（x-1）²=0，不等式不成立，
則必有x≠1，
x≠1時，令f（p）=（x-1）p+（x-1）²，f（p）是關于p的一次函數，
此時其定義域為[-2，2]，由一次函數的單調性知，
解得x＜-1或x＞3．
即x的取值范圍是{x|x＜-1或x＞3}．
（2）不等式可化為（x-1）p＞-x²+2x-1，
∵2≤x≤4，∴x-1＞0．
∴p＞=1-x．
對x∈[2，4]恒成立，
所以p＞（1-x）_max．
當2≤x≤4時，（1-x）_max=-1，
于是p＞-1．故p的范圍是{p|p＞-1}．
點評：本題為不等式恒成立問題，常用方法有：分離參數求最值、直接求最值、主參換位等．