Question

已知函數f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極限值，其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）當x∈[1，3]時，f（x）＞1-4c²恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在x=2處有極值得，f'（2）=0，f（x）圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，得f'（1）=-3，聯立方程組解出即可；
（2）在x∈[1，3]內，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等價于f（x）_min＞1-4c²，利用導數易求得函數f（x）在[1，3]上的最小值；

解答：解：（1）∵f（x）=x³+3ax²+3bx+c，∴f'（x）=3x²+6ax+3b，
∵f（x）在x=2處有極值，∴f'（2）=12+12a+3b=0，①
又∵f（x）圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，∴f'（1）=3+6a+3b=-3，②
聯立①②解得  a=-1，b=0；
（2）在x∈[1，3]內，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等價于f（x）_min＞1-4c²，
由f'（x）=3x²-6x=0，解得x=0或x=2，
又∵f（2）=c-4，f（1）=c-2，f（3）=c，
∴f（x）_min=c-4，
∴c-4＞1-4c²，解得c的取值范圍為c＜-

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或c＞1．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值及曲線上某點切線方程，考查函數恒成立問題，恒成立問題的常用解決方法是轉化函數最值處理．