Question

已知橢圓中心在原點，坐標軸為對稱軸，離心率是

2

2

，過點（4，0），則橢圓的方程是（　　）

• A、

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1
• B、

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1或

  x2

  8

  +

  y2

  16

  =1
• C、

  x2

  16

  +

  y2

  32

  =1
• D、

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1或

  x2

  16

  +

  y2

  32

  =1

Answer 1

分析：根據橢圓的離心率是

2

2

，列式解出a²=2b²．由橢圓的焦點在x軸上或y軸上進行討論，根據點（4，0）在橢圓上加以計算，分別求出a²、b²之值，即可得到所求橢圓的方程．

解答：解：∵橢圓的離心率是

2

2

，∴

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，解之得a²=2b²．
①當橢圓的焦點在x軸上時，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵點（4，0）在橢圓上，
∴a=4，得a²=16，b²=

1

2

a²=8，可得橢圓的方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
②當橢圓的焦點在y軸上時，設橢圓的方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，
∵點（4，0）在橢圓上，∴b=4，得b²=16，a²=2b²=32，
此時橢圓的方程為

x2

16

+

y2

32

=1．
綜上所述，橢圓的方程為

x2

16

+

y2

8

=1或

x2

16

+

y2

32

=1．
故選：D

點評：本題給出橢圓經過定點（4，0）且離心率是

2

2

，求橢圓的標準方程，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．