Question

已知函數，且其導函數的圖像過原點．

(1)當a＝1時，求函數f(x)的圖像在x＝3處的切線方程；

(2)若存在x＜0，使得，求a的最大值；

(3)當a＞0時，求函數f(x)的零點個數．

Answer 1

答案：
解析：

解：， 　　由得，．　2分 　　(1)當時，，，， 　　所以函數的圖像在處的切線方程為，即　4分 　　(2)存在，使得， 　　，， 　　當且僅當時，所以的最大值為．　9分 　　(3)當時，的變化情況如下表：　11分 　　的極大值， 　　的極小值 　　又，． 　　所以函數在區間內各有一個零點， 　　故函數共有三個零點．　14分 　　注：①證明的極小值也可這樣進行： 　　設， 　　則 　　當時，，當時，， 　　函數在區間上是增函數，在區間上是減函數， 　　故函數在區間上的最大值為， 　　從而的極小值． 　　②證明函數共有三個零點．也可這樣進行：的極大值， 　　的極小值， 　　當無限減小時，無限趨于 當 無限增大時，無限趨于 　　故函數在區間內各有一個零點，故函數共有三個零點．