Question

已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）若函數F（x）=

f(x)-a

x

在[1，e]上是最小值為

3

2

，求a的值；
（Ⅲ）當b＞0時，求證：bb≥(

1

e

)

1

e

（其中e=2.718 28…是自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）≥0，確定函數的單調遞增區間；令f′（x）≤0，確定函數的單調遞減區間，從而可求函數的最小值；
（Ⅱ）F（x）=

f(x)-a

x

=

xlnx-a

x

，求導函數可得F′（x）=

x+a

x2

，分類討論，確定函數的單調性，利用函數在[1，e]上是最小值為

3

2

，可求a的值；
（Ⅲ）由（I）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，所以blnb≥-

1

e

，從而可知結論成立．

解答：（Ⅰ）解：求導函數可得：f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）≥0，即lnx≥-1，∴x≥

1

e

；令f′（x）≤0，即lnx≤-1，∴0＜x≤

1

e

；
∴f（x）單調遞增區間為[

1

e

，+∞），單調遞減區間為（0，

1

e

]
∴f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

（Ⅱ）解：F（x）=

f(x)-a

x

=

xlnx-a

x

，求導函數可得F′（x）=

x+a

x2

當a≥0時，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上單調遞增，F（x）_min=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

∉[0，+∞），舍去；
當a＜0時，F（x）在（0，-a）單調遞減，在（-a，+∞）單調遞增
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上單調遞增，F（x）_min=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F（x）在（1，-a）單調遞減，在（-a，e）單調遞增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-1），F（x）在[1，e]上單調遞減，∴F（x）_min=F（e）=-

1

2

e∉（-∞，-1），舍去；
綜上所述：a=-

e

（Ⅲ）證明：由（I）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，∴blnb≥-

1

e

，
即ln(bb)≥-

1

e

=ln(

1

e

)

1

e

．
∴bb≥(

1

e

)

1

e

點評：本試題考查了導數在研究函數中的運用，求函數的最值，以及結合不等式的知識證明不等式的成立．解決該試題的關鍵是第一問能利用導數求出參數a的值，并能利用第一問來遞進式解決第二問．