Question

已知函數f(x)=x+

1

x-1

，x＞1，且不等式f（x）≥a²+b²+c²對任意x＞1恒成立．
（Ⅰ）試求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）試求a+2b+2c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于x＞1，x-1＞0根據基本不等式即可求出函數f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得　a²+b²+c²≤3由柯西不等式得a+2b+2c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵x＞1，x-1＞0
∴f(x)=x+

1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+1≥2+1=3
（當且僅當x=2時取“=”號）
∴函數f（x）的最小值3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得　a²+b²+c²≤3
由柯西不等式得（a²+b²+c²）（1²+2²+2²）≥（1•a+2•b+2•c）²
∴（a+2b+2c）²≤3×9=27，
∴a+2b+2c≤3

3

．
當且僅當

a2+b2+c2=3 a 1 = b 2 = c 2 ＞0

即a=

3

3

，b=

2 3

3

，c=

2 3

3

時取“=”．
∴a+2b+2c的最大值3

3

．

點評：本小題主要考查柯西不等式在函數極值中的應用、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．