Question

某校從參加高二級期中考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]．后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列題：
（1）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（2）估計這次考試的及格率（60分以上為及格）；若統計方法中，同一組數據用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；
（3）從成績是[40，50]，和[90，100分的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．

Answer 1

解：（1）因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率：
f₄=1-（0.025+0.015+0.01+0.005）×10=0.3．
直方圖為：

（2）依題意，60以上的分數所在的第三、四、五、六組，頻率和為：
（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75．
所以，抽樣學生成績的合格率是75%．
利用組中值估算抽樣學生的平均分為：
45•f₁+55•f₂+65•f₃+75•f₄+85•f₅+95•f₆
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
估計這次考試的平均分時71（分）．
（3）分數在[40，50]中的學生有6人，記為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，
分數在[90，100]中的學生有3人，記為b₁，b₂，b₃，
兩個分數段上的學生工9名．從9名學生中抽取兩名學生，有以下取法：
a₁，a₂；a₁，a₃；a₁，a₄；a₁，a₅；a₁，a₆；a₁，b₁；a₁，b₂；a₁，b₃；
a₂，a₃；a₂，a₄；a₂，a₅；a₂，a₆；a₂，b₁；a₂，b₂；a₂，b₃；
a₃，a₄；a₃，a₅；a₃，a₆；a₃，b₁；a₃，b₂；a₃，b₃；
a₄，a₅；a₄，a₆；a₄，b₁；a₄，b₂；a₄，b₃；
a₅，a₆；a₅，b₁；a₅，b₂；a₅，b₃；
a₆，b₁；a₆，b₂；a₆，b₃；
b₁，b₂；b₁，b₃；
b₂，b₃．
共有36種不同的取法
其中從分數在[40，50]中的6名學生任取兩名學生有下列取法：
a₁，a₂；a₁，a₃；a₁，a₄；a₁，a₅；a₁，a₆；
a₂，a₃；a₂，a₄；a₂，a₅；a₂，a₆；
a₃，a₄；a₃，a₅；a₃，a₆；
a₄，a₅；a₄，a₆；
a₅，a₆．
共有15種不同的取法
從分數在[90，100]中3名學生中任取兩名學生有下列取法：
b₁，b₂；b₁，b₃；b₂，b₃ 共有3種不同的取法
記“從成績是[40，50]和[90，100]分的學生中選兩人”為事件A，
則P（A）=，
即從成績是[40，50]和[90，100]分的學生中選兩人是同一分數段的概率為．
分析：（1）因為各組的頻率和等于1，由此能求出第四組的頻率，并能作出直方圖．
（2）依題意，60以上的分數所在的第三、四、五、六組，頻率和為（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75．所以抽樣學生成績的合格率是75%．利用組中值估算抽樣學生的平均分能夠估計這次考試的平均分．
（3）分數在[40，50]中的學生有6人，記為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，分數在[90，100]中的學生有3人，記為b₁，b₂，b₃，兩個分數段上的學生工9名．從9名學生中抽取兩名學生，共有36種不同的取法．其中從分數在[40，50]中的6名學生任取兩名學生共有15種不同的取法，從分數在[90，100]中3名學生中任取兩名學生，共有3種不同的取法．由此能求出從成績是[40，50]和[90，100]分的學生中選兩人是同一分數段的概率．
點評：本題考查列舉法計算基本事件數及事件發生的概率，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意頻率分布直方圖的應用．