Question

如圖，在長方體OABC—O₁A₁B₁C₁中，OA=2，AB=3，AA₁=2，E是BC的中點.

（1）求O₁E的長;

（2）求直線AO₁與B₁E所成的角.

Answer 1

解法一:(1)= +=.

∴||²=(++)²=||²+||²+||²=4+9+1=14.

∴||=14.

(2) =-+,=+=-.

·=(-+)·(-)= ||²-||²=-2.

||=.

||=.

∴cos〈,〉=.

∴〈,〉=arccos(-)=π-arccos.

故與所成的角為arccos.

解法二:以OA作為x軸正軸，OC作為y軸正軸，OO₁作為z軸正軸,建立空間直角坐標系.

 (1)O₁(0,0,2),E(1,3,0),

∴||=.

(2)A(2,0,0),B₁(2,3,2),則=(-2,0,2),=(-1,0,-2).

∴·=(-2)×(-1)+2×(-2)=-2,

||=,| |=.

∴cos〈, 〉=.

故AO₁與B₁E₁所成的角為arccos.

解法三:(1)連結OE，

在Rt△OEC中,

OE=.

又由O₁O⊥平面OABC知O₁O⊥OE,

在Rt△O₁OE中，O₁E=.

(2)連結BC₁,交B₁E于F，

則BC₁∥AO₁.

設∠BFE=β,∠BEF=α,

則β即為直線AO₁與B₁E所成的角.

依題意，側面B₁BCC₁為正方形,

在Rt△B₁BE中，tanα=2,B₁E=,sinα=,cosα=.

∴α=arcsin或arccos或arctan2.

∴β=π--α=-arcsin(或β=-arccos或β=-arctan2).