Question

如圖，已知直線l與拋物線y²=x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸相交于點M，若y₁y₂=-1，
（1）求證：OA⊥OB；
（2）M點的坐標為（1，0），求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1 ） 設M點的坐標為（x₀，0），直線l方程為 x=my+x₀，代入y²=x得y²-my-x₀=0 可證得M點的坐標為（1，0）．再根據y₁y₂=-1結合向量的坐標運算得出OA⊥OB．
（2）直線AB過點（1，0），OA⊥OB，當直線AB過（1，0）且垂直于x軸時，△AOB的面積的取最小值．由此能求出結果．

解答：解：（1 ） 設M點的坐標為（x₀，0），直線l方程為 x=my+x₀，代入y²=x得
y²-my-x₀=0        ①，
y₁、y₂是此方程的兩根，
∴x₀=-y₁y₂=1，即M點的坐標為（1，0）．
∵y₁y₂=-1
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴OA⊥OB．
（2）由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S_△AOB=

1

2

|OM||y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴當m=0時，△AOB的面積取最小值1．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意拋物線性質的合理運用．