Question

已知函數f（x）=mln（x-1）+（m-1）x，m∈R是常數．
（1）若m=

1

2

，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）存在最大值，求m的取值范圍；
（3）若對函數f（x）定義域內任意x₁、x₂（x₁≠x₂），

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）的定義域為（1，+∞）…（1分）
m=

1

2

時，f(x)=

1

2

ln(x-1)-

1

2

x，f/(x)=

1

2(x-1)

-

1

2

=

2-x

2(x-1)

…（2分）
解f′（x）=0得x=2．
當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，即f（x）在（1，2）單調遞增…（3分）；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，即f（x）在（2，+∞）單調遞減…（4分）．
（2）f/(x)=

m

x-1

+(m-1)=

(m-1)x+1

x-1

若m≥1，則f′（x）＞0，f（x）單調遞增，不存在最大值…（5分）
若m≤0，則f′（x）＜0，f（x）單調遞減，不存在最大值…（6分）
若0＜m＜1，由f′（x）=0得x=

1

1-m

，
當x∈(1，

1

1-m

)時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈(

1

1-m

，+∞)時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減…（8分），
所以f（x）在x=

1

1-m

取得最大值，所求m的取值范圍為（0，1）…（9分）
（3）由

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)得

mln(x1-1)+mln(x2-1)

2

＞mln(

x1+x2

2

-1)…（10分），
依題意x₁-1＞0，x₂-1＞0且x₁-1≠x₂-1，所以

x1+x2

2

-1=

(x1-1)+(x2-1)

2

＞

(x1-1)(x2-1)

…（11分），
y=lnx是增函數，所以ln(

x1+x2

2

-1)＞ln

(x1-1)(x2-1)

…（12分）
=

1

2

ln[(x1-1)(x2-1)]=

1

2

[ln(x1-1)+ln(x2-1)]…（13分），
所求m的取值范圍為（-∞，0）…（14分）．