Question

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

Answer 1

（1）y²＝4x；（2）點N坐標為或.

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、圓的標準方程及其幾何性質、圓的切線的性質等基礎知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，利用拋物線的準線，得到M點的坐標，利用圓的方程得到圓心C的坐標，在中，可求出，在中，利用相似三角形進行角的轉換，得到的長，而，從而解出P的值，即得到拋物線的標準方程；第二問，設出N點的坐標,利用N、C點坐標寫出圓C的方程，利用點C的坐標寫出圓C的方程，兩方程聯立，由于P、Q是兩圓的公共點，所以聯立得到的方程即為直線PQ的方程，而O點在直線上，代入點O的坐標，即可得到s、t的值，即得到N點坐標.
試題解析：（1）由已知得，C(2，0)．
設AB與x軸交于點R，由圓的對稱性可知，．
于是，
所以，即，p＝2．
故拋物線E的方程為y²＝4x．          5分
 
（2）設N(s，t)．
P，Q是NC為直徑的圓D與圓C的兩交點．
圓D方程為，
即x²＋y²－(s＋2)x－ty＋2s＝0．       ①
又圓C方程為x²＋y²－4x＋3＝0．       ②
②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．       ③  9分
P，Q兩點坐標是方程①和②的解，也是方程③的解，從而③為直線PQ的方程．
因為直線PQ經過點O，所以3－2s＝0，．
故點N坐標為或．       12分