Question

（本小題滿分14分）
橢圓：的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為。
（I）求橢圓的方程；
（II）設過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，若
為直角三角形，求直線的斜率。

Answer 1

（I）
（II）和

（I）由已知            ………………3分
又，解得
所以橢圓C的方程為。  ………………………………5分
（II）根據題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設。
聯立，，消去y得，…………6分
，
令，解得。    ………………………………………………7分
設E、F兩點的坐標分別為，
（i）當∠EOF為直角時，
則，…………………………8分
因為∠EOF為直角，所以，即，………………9分
所以，
所以，解得 ………………11分
（ii）當∠OEF或∠OFE為直角時，不妨設∠OEF為直角，
此時，，所以，即……①…………12分
又…………②
將①代入②，消去x₁得
解得或（舍去），……………………13分
將代入①，得 所以，………………14分
經檢驗，所求k值均符合題意，綜上，k的值為和。