Question

【題目】綜合題。
（1）已知 在區間（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，求實數m的取值范圍；
（2）設函數f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數，若 ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：作函數 的圖象如下，

結合圖象可知， ；解得1＜m≤3；

故實數m的取值范圍為（1，3]

（2）解：由題意，對任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）

即a﹣x﹣（k﹣1）ax=﹣ax+（k﹣1）a﹣x，

即（k﹣1）（ax+a﹣x）﹣（ax+a﹣x）=0，（k﹣2）（ax+a﹣x）=0，

因為x為任意實數，所以k=2．

∵f（x）=ax﹣a﹣x，∴ ，∴ ，解得a=2．

故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），

令t=2x﹣2﹣x，易得t為增函數，由x∈[1，+∞），得 ，

則22x+2﹣2x=t2+2，∴ ．

當 時，h（t）在 上是增函數，則 ，

解得 （舍去）．當 時，h（m）2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．

綜上，m的值是2

【解析】（1）作函數 的圖象，在區間（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，可得， ，即可求實數m的取值范圍；（2）求出f（x）=2x﹣2﹣x ， g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），再根據g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，即可求m的值．
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義和函數奇偶性的性質，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．