Question

甲乙兩個盒子里各放有標號為1，2，3，4的四個大小形狀完全相同的小球，從甲盒中任取一小球，記下號碼x后放入乙盒，再從乙盒中任取一小球，記下號碼y，設隨機變量X=|x-y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求隨機變量X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知y=2 包括兩種情況，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，根據變量的結果對應的事件做出兩種情況的概率，這兩種情況是互斥的，且每一種情況中包含的事件是相互獨立事件，根據公式得到結果．
（2）由題意知隨機變量的取值是0、1、2、3，根據不同變量對應的事件得到概率，寫出分布列和期望，不同是一個必得分的題目．

解答：解：（1）由題意知y=2 包括兩種情況，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，
∴P（y=2）=P（x=2，y=2）+P（x≠2，y=2）=

1

4

×

2

5

+

3

4

×

1

5

=

1

4

（2）隨機變量X可取的值為0，1，2，3
當X=0時，（x，y）=（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）
∴P(X=0)=

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

=

2

5

當X=1時，（x，y）=（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）
∴P(X=1)=

1

4

×

1

5

-

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

-

1

4

×

1

5

-

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

=

8

10

同理可得P(X=2)=

1

5

；P(X=3)=

1

10

∴隨機變量X的分布列為

∴EX=0×

2

5

+1×

3

10

+2×

1

5

+3×

1

10

=1

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道大題，文科考概率一般考查古典概型和幾何概型．