Question

下列四個命題中，正確的是（　　）

• A．已知函數f（a）=∫₀^asinxdx，則f[f(

  π

  2

  )]=1-cos1
• B．設回歸直線方程為

  y

  =2-2.5x，當變量x增加一個單位時，y平均增加2個單位
• C．已知ξ服從正態分布N（0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，則P（ξ＞2）=0.2
• D．對于命題p：?x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0；則?p：?x∈R，x²+x+1＞0

Answer 1

分析：對于A，利用定積分公式計算即可；對于B：回歸方程

?

y

=2-2.5x，變量x增加一個單位時，變量

?

y

平均變化[2-2.5（x+1）]-（2-2.5x），及變量

?

y

平均減少2.5個單位，得到結果．對于C：利用正態分布N（0，1）的密度函數的圖象，由圖象的對稱性可得結果．D中，本題中所給的命題是一個特稱命題，其否定是一個全稱命題，按規則寫出其否定即可．

解答：解：對于A：∵f（a）=∫₀^asinxdx=（-cosx）|₀^a=1-cosa，
∴f(

π

2

)=1，f(1)=1-cos1，即f[f(

π

2

)]=1-cos1，
∴（A）正確．
對于B：回歸方程

?

y

=2-2.5x，變量x增加一個單位時，
變量

?

y

平均變化[2-2.5（x+1）]-（2-2.5x）=-2.5
∴變量

?

y

平均減少2.5個單位，故錯．
對于C：由隨機變量ξ服從正態分布N（0，σ²）可知正態密度曲線關于y軸對稱，
而P（-2≤x≤0）=0.4，
∴P（-2≤x≤2）=0.8
則P（ξ＞2）=

1

2

（1-P（-2≤x≤2））=0.1，故錯；
對于選項D：∵命題“存在x₀∈R，使x₀²+x₀+1＜0”是一個特稱命題
∴命題“存在x₀∈R，使x₀²+x₀+1＜0”的否定是“對任意x₀∈R，使x₀²+x₀+1＜0≥0”．故D錯．
故選A．

點評：本小題主要考查定積分、正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義、回歸分析的初步應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．