Question

點P（-3，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左準線上，過點P（-3，1）且方向為

a

=(2，-5)的光線，經直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為

3

3

．

Answer 1

分析：根據對稱性可知光線經過直線y=-2反射后的直線過已知過點P（-3，1）且方向為

m

=（2，-5）的直線 與y=-2的交點，反射后所在的直線與x軸的交點即為橢圓的左焦點，從而可求c，再根據點P（-3，1）在橢圓的左準線上，求得a和c的關系求得a，則橢圓的離心率可得．

解答：解：如圖，過點P（-3，1）的方向

a

=（2，-5）
所以K_PQ=-

5

2

，
根據直線方程的點斜式得：l_PQ的方程為y-1=-

5

2

（x+3），
與y=-2的交點為 (-

9

5

，-2)
光線經過直線y=-2反射后所在的直線方程為y+2=

5

2

(x+

9

5

)，
與x軸的交點（-1，0）即為橢圓的左焦點
得：c=1，

a2

c

=3，則a=

3

，
所以橢圓的離心率e=

c

a

=

3

3

，
故答案為：

3

3

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質、利用對稱性求解直線方程，解題的關鍵是要發現反射關系過入射關系與y=-2的焦點，還要注意方向向量的概念的理解．