Question

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證f（x）是奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）若f（1）=-2，試問在-3≤x≤3，f（x）是否有最值？如果有，求出最值，如果沒有，說出理由．

Answer 1

分析：（1）賦值：先取y=0，得f（0）=0，再取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，從而得到f（-x）=-f（x），所以函數f（x）是R上的奇函數；
（2）根據單調性的定義，先設設x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，結合已知條件得到f（x₂-x₁）＜0，再利用已知條件的等式，可以證明出f（x₁）＞f（x₂），可得f（x）是R上的減函數；
（3）根據f（1）=-2，利用賦值法可得f（3）=-6，結合函數為奇函數得到f（-3）=6．然后根據函數在[=3，3]上是減函數，可得f（x）是有最大值為f（-3）=6，最小值為f（3）=-6．

解答：解：（1）∵對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴取y=0，得f（x+0）=f（x）+f（0）⇒f（0）=0
再令y=-x，得f[x+（-x）]=f（0）=0
∵f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），函數f（x）是R上的奇函數；
（2）設x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0
∵當x＞0時，f（x）＜0
∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂-x₁）=f（-x₁+x₂）=f（-x₁）+f（x₂）＜0
∴-f（x₁）+f（x₂）＜0⇒f（x₁）＞f（x₂）
由函數單調性的定義，可得f（x）是R上的減函數；
（3）∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=-6
∵函數f（x）是R上的奇函數
∴f（-3）=-f（3）=6
∵f（x）是R上的減函數
∴當-3≤x≤3時，f（3）≤f（x）≤f（-3），即-6≤f（x）≤6，
因此f（x）是有最大值為f（-3）=6，最小值為f（3）=-6．

點評：本題以一個抽象函數為載體，考查了函數奇偶性的判斷、函數單調性的判斷與證明和函數最值的求法等知識點，屬于中檔題．采用賦值法，是解決此類問題的常用方法．