Question

某大學為了發展需要，準備興建新校區．新校區規劃分南北兩個校區，北區擬建A，B，C三個不同功能的教學小區，南區擬建D，E，F三個不同功能的生活小區．南北校區用一條中心主干道MN相連，各功能小區與中心主干道用支道相連，并且各功能小區到中心干道的端點的距離相等，A，C，D，F在邊長為2公里的正方形頂點位置，B，E分別在MN的延長線上．已知中心主干道的造價為每公里30萬元，支道造價為每公里20萬元．問當中心主干道約為多少公里時，才能使道路總造價最低？道路總造價最低為多少萬元？（ 參考數據

3

=1.732，結果保留三位有效數字）

Answer 1

分析：根據中心主干道的造價為每公里30萬元，支道造價為每公里20萬元，可得關于道路總造價的函數關系式，利用導數法可求最值．

解答：解：設MN=2x，O為正方形的中心，總造價為y萬元…．（1分）
過M作MP⊥AF，垂足為P，則MP=1，AP=1-x，AM=

12+(1-x)2

=

x2-2x+2

…．（3分）
故y=6AM•20+MN•30=120

x2-2x+2

+60x…．（6分）y′=

120(x-1)

x2-2x+2

+60…．（8分）
令y′=0⇒2(1-x)=

x2-2x+2

∴3x2-6x+2=0 ∴x1=1-

3

3

，x2=1+

3

3

＞1（舍去）
當x∈(0，1-

3

3

)，y′＜0；x∈(1-

3

3

，1)，y′＞0…（12分）
故當x=1-

3

3

時，ymin=60(1+

3

)≈164（萬元）
答：當中心主干道約為0.845公里時，才能使道路總造價最低．道路總造價最低約為164萬元…．（14分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查利用導數判斷函數單調性，從而求函數的最值．