Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的兩個焦點為F₁（-2，0），F₂（2，0），點(3，

7

)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知Q（0，2），P為雙曲線C上的動點，點M滿足

QM

=

MP

，求動點M的軌跡方程；
（3）過點Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，記O為坐標原點，若△OEF的面積為2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），將點（3，

7

）代入上式，能求出雙曲線方程．
（2）設M（x，y）由題意M為線段PQ的中點，則P（2x，2y-2），由此能得到動點M的軌跡方程．
（3）設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，所以

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，由此能求出滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=

2

x+2和y=-

2

x+2．

解答：解：（1）依題意，由a²+b²=4，
得雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），
將點（3，

7

）代入上式，得

9

a2

-

7

4-a2

=1．
解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求雙曲線方程為

x2

2

-

y2

2

=1．…（4分）
（2）設M（x，y），
∵點M滿足

QM

=

MP

，
∴M為線段PQ的中點，
∵Q （0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把點P（2x，2y-2）代入雙曲線方程為

x2

2

-

y2

2

=1，
得動點M的軌跡方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）
（3）依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，
代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，
∴k∈（-

3

，-1）∪（1，

3

）．…（10分）
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則由①式得x₁+x₂=

4k

1-k2

，x₁x₂=-

6

1-k2

，
于是|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

，
而原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

，
∴S_△OEF=

1

2

d•|EF|
=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．…（13分）
若S_△OEF=2

2

，
即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

，
∴k⁴-k²-2=0，
解得k=±

2

，
滿足②．故滿足條件的直線l有兩條，
其方程分別為y=

2

x+2和y=-

2

x+2．…（16分）

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．易錯點是計算量大，容易出錯．