Question

（2009•鹽城一模）在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不難得到“對于雙曲線xy=k（k＞0）上任意一點(diǎn)P，若點(diǎn)p在x軸、y軸上的射影分別為M、N，則|PM|-|PN|必為定值k”．類比于此，對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P，類似的命題為：

若點(diǎn)P在兩漸近線上的射影分別為M、N，則|PM|•|PN|必為定值

a2b2

a2+b2

．

Answer 1

分析：對于雙曲線xy=k（k＞0）上任意一點(diǎn)P，若點(diǎn)P在x軸、y軸上的射影分別為M、N，則|PM|-|PN|必為定值k，由于x軸、y軸也是雙曲線xy=k（k＞0）的漸近線，此時(shí)|PM|，|PN|分別表示P點(diǎn)到兩條漸近線的距離，由此我們類比，對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P，|PM|•|PN|也必為定值，代入驗(yàn)證即可得到答案．

解答：解：由已知條件我們分析：
由于x軸、y軸也是雙曲線xy=k（k＞0）的漸近線，
此時(shí)|PM|，|PN|分別表示P點(diǎn)到兩條漸近線的距離，
由此我們類比推斷，
對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P，
|PM|•|PN|也必為定值，
任取雙曲線一點(diǎn)P（X，Y）
則|PM|•|PN|=

a2y2+b2x2

a2+b2

=

a2b2

a2+b2

故答案為：若點(diǎn)P在兩漸近線上的射影分別為M、N，則|PM|•|PN|必為定值

a2b2

a2+b2

點(diǎn)評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．