Question

（文）已知A={x|

1

2

≤x≤2}，f（x）=x²+px+q和g(x)=x+

1

x

+1是定義在A上的函數，當x、x₀∈A時，有f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），則f（x）在A上的最大值是

4

．

Answer 1

分析：由已知很容易得到函數g（x）=x+

1

x

+1 在區間[

1

2

，2]上的最小值為g（1）=3，于是函數f（x）=x²+px+q也在x=1處取到最小值f（1），從而可得二次函數的對稱軸為x=1，下面只需代入數值即可求解．

解答：解：∵當x、x₀∈A時，有f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），
∴f（x₀），g（x₀）分別為函數f（x），g（x）的最小值
∵x，x0∈[

1

2

，2]
∴g(x)=x+

1

x

+1≥2

x• 1 x

+1=3即g（x₀）=3，此時x₀=1
∵f（x₀）=g（x₀），則f（x₀）=f（1）=3
∴

- p 2 =1 1+p+q=3

∴p=-2，q=4
∴f（x）=x²-2x+4在[

1

2

，2]上的最大值為f（2）=4
故答案為：4

點評：本題考查利用基本不等式求解函數在區間上最值的方法，考查二次函數的性質的應用；考查函數與方程，轉化與化歸等數學思想方法．