Question

已知a＞0且a≠1，數列｛a_n｝是首項為a，公比也為a的等比數列，設b_n=a_nlga_n，問是否存在a，對任意自然數n,數列｛b_n｝中的每一項總小于它后面的所有的項?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：對任意自然數n，要使｛b_n｝中的每一項總小于它后面所有的項的充要條件是b_n＜b_n+1對一切n∈N均成立.

    由已知a_n=aⁿ，b_n=a_nlga_n=aⁿlgaⁿ=naⁿlga，b_n+1=(n+1)·aⁿ⁺¹lga，則

b_n+1-b_n=［(n+1)a-n］·aⁿlga.

①當a＞1時，lga＞0，aⁿ＞0，(n+1)a-n＞(n+1)-n＞0,∴當a＞1時，b_n＜b_n+1對一切n∈N成立；

②當0＜a＜1時，lga＜0，b_n+1-b_n＞0對一切n∈N

    成立，當且僅當(n+1)a-n＜0對一切n∈N成立，即a＜(n∈N)，而≥，故只要a＜即可.

    綜上所述，存在實數a∈(0,)∪(1，+∞)，使｛b_n｝中的任一項都小于它后面的所有項.