Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當 ，求函數(shù)的極小值；

（2）已知函數(shù)在處取得極值，求證：；

（3）求函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；

【解析】

(1)當令 ，解得．即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值點．

(2)，函數(shù) 在處取得極值，可得 ，解得：或時，不滿足條件，舍去，因此，即可證明．

（3） 時，; 時，;

①，解得： ，此時有兩個不相等的實數(shù)根．即函數(shù) 有兩個極值點．設(shè)．對與與0的大小關(guān)系即可得出函數(shù)零點的個數(shù)．②，解得：或，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得出函數(shù)在上零點的個數(shù)．

（1）當 ，.

,

令，解得，或，

可得：函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴時函數(shù)取得極小值， 。

（2） ，

∵函數(shù)在取得極值，

∴ ，

（3） ，

，

時，; 時，;

①，解得：或 ，此時有兩個不相等的實數(shù)根．即函數(shù)有兩個極值點．設(shè)．

時，可得：函數(shù)在上只有一個零點。

時，可得：函數(shù)在上有兩個零點。

時，可得：函數(shù)在上有三個零點。

時，可得：函數(shù)在上有兩個零點。

時，可得：函數(shù)在上只有一個零點。

② ，解得： ，此時 ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，時，; 時，;可得：函數(shù)在上只有一個零點。