Question

已知函數（）.
(1)若函數在處取得極大值,求的值;
(2)時,函數圖象上的點都在所表示的區域內,求的取值范圍;
(3)證明:，.

Answer 1

(1) ；(2) .
(3)數學歸納法可知，，。

試題分析：(1)，由 經檢驗符合題意 （3分）
(2)依題意知，不等式在恒成立.令,
當k≤0時,取x＝1,有，故k≤0不合．（4分）
當k＞0時， g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝＞－1.         （5分）
①當k≥時，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調遞減，從而對任意的x∈[0，＋∞)，總有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合題意，6分②當0＜k＜時，＞0, 對于x∈，g′(x)＞0，
故g(x)在內單調遞增，因此當取x₀∈時，g(x₀)＞g(0)＝0，不合．
綜上，. （8分）
(3)證明：當n＝1時，不等式左邊＝2－ln3＜2＝右邊，所以不等式成立．（9分）
當n≥2時，在(2)中取k＝，得 （10分）
取代入上式得:  （12分）
≤2－ln3＋
－ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.
綜上，，        （14分）
點評：難題，本題屬于導數應用中的常見問題，（2）是恒成立問題，注意通過構造函數，研究函數的最值達到解題目的。（3）利用數學歸納法。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。