Question

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90^O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點.(1)求證:PB⊥DM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60^o.若存在求出λ值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）建系，利用，證明PB⊥DM
（2）
（3）先假設存在，求出法向量，可以算出無解，所以不存在符合要求的解.

試題分析：（1）如圖以A為原點建立空間直角坐標系

A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，1，0），D（0，2，0）
M（1，，1），N（1，0，1），
E（0，m，2-m），P（0，0，2）
（2，0，-2），（1，-，1），
="0"
（2）=（-2，1，0）平面ADMN法向量=（x,y,z），
=（0，2，0），=（1，0，1） ，
所以 ，即 ，解得=（1，0，-1），
設CD與平面ADMN所成角α，則.
（3）設平面ACN法向量=（x,y,z）,
所以，解得=（1,-2,-1），
設,所以，
同理可以求出平面AEN的法向量，
因為，所以，
所以 ，
此方程無解，所以不存在符合要求的點.
點評：解決立體幾何問題，可以建立空間向量，但是證明時也要根據相應的判定定理和性質定理，定理中要求的條件要一一列舉出來，另外還要注意各種角的取值范圍.