Question

設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025254949303.png" style="vertical-align:middle;" />的奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若，且在上的最小值為，求的值.
(3)若，試討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況。

Answer 1

(1) ;(2) (3) 當(dāng)時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).

試題分析：(1) 由奇函數(shù)的性質(zhì)求,可用特殊值或用恒等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，如果0在奇函數(shù)的定義域內(nèi),則一定有,如果不在可任取定義域內(nèi)兩個(gè)相反數(shù)代入求.
(2)由求出,代入得,換元,注意自變量的取值范圍,每設(shè)出一個(gè)子母都要把它取的范圍縮到最小以有利于解題, 所以得到得到一個(gè)新的函數(shù),利用二次函數(shù)函數(shù)單調(diào)性求最值方法得到,二次函數(shù)在區(qū)間上的最值在端點(diǎn)處或頂點(diǎn)處,遇到對(duì)稱軸或區(qū)間含有待定的字母,則要按對(duì)稱軸在不在區(qū)間內(nèi)以及區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行討論.
(3)由函數(shù)零點(diǎn)判定轉(zhuǎn)化為二次方程根的判定,即在解個(gè)數(shù)情況,這個(gè)解起來(lái)比較麻煩,所以可以用函數(shù)單調(diào)性先來(lái)判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即在上為增函數(shù),也就是在這個(gè)區(qū)間上是一一映射, 時(shí)的每個(gè)值方程只有一個(gè)解.
試題解析：
(1)為上的奇函數(shù)
即

(2)由(1)知
解得或(舍)
且在上遞增

令則
所以令,且
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025255323711.png" style="vertical-align:middle;" />的對(duì)稱軸為
Ⅰ當(dāng)時(shí)
解得(舍)
Ⅱ當(dāng)時(shí)
解得
綜上:
(3)由(2)可得:
令則
即求,零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況
即求在解個(gè)數(shù)情況
由得,
所以在上為增函數(shù)
當(dāng)時(shí)有最小值為
所以當(dāng)時(shí)方程在上有一根,即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)方程在上無(wú)根,即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)
綜上所述:當(dāng)時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).