Question

一個三棱錐的棱長均為2，四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（三棱錐的截面）的面積是（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

分析：根據球內接正四面體的性質與圓的對稱性，可得圖中的截面是三棱錐的一條棱與高線所在的平面，即這條棱和與其相對棱的中點構成的三角形．由此作出圖形并利用題中的數據加以計算，可得此截面的面積．

解答：解：根據題意，過該球球心的一個截面經過三棱錐的一條棱，且截面為等腰三角形．
因此該截面所在平面與球相交截得球大圓，即球心在此截面內，
由球的對稱性可得球心在該三棱錐的高上，
∴該截面是三棱錐的一條棱與高線所在的平面，即這條棱和與其相對棱的中點構成的三角形，
因此設三棱錐D-ABC中，截面三角形為△BDF，其中F為棱AC的中點
∵三棱錐的棱長均為2，∴DF=DF=

3

2

×2=

3

．
取BD的中點E，連結EF，則EF是等腰△BDF底邊上的高，
∵EF=

BF2-BE2

=

2

，
∴△BDF的面積為S=

1

2

BD•EF=

1

2

×2×

2

=

2

．
故選：C

點評：本題給出球內接正四面體的一個截面的形狀，求該截面的面積．著重考查了正四面體的性質、圓的對稱性、勾股定理與三角形的面積計算等知識，屬于中檔題．