Question

【題目】已知數列滿足：對任意均有（p為常數，且），若，則的所有可能取值的集合是___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

依題意，可得an+1+2＝p（an+2），再對a1＝﹣2與a1≠﹣2討論，特別是a1≠﹣2時對公比p分|p|＞1與|p|＜1，即可求得a1所有可能值，從而可得答案．

解：∵an+1＝pan+2p﹣2，

∴an+1+2＝p（an+2），

∴①若a1＝﹣2，則a1+1+2＝p（a1+2）＝0，a2＝﹣2，同理可得，a3＝a4＝a5＝﹣2，即a1＝﹣2符合題意；

②若a1≠﹣2，p為不等于0與1的常數，則數列{an+2}是以p為公比的等比數列，

∵ai∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，i＝2，3，4，5，

an+2可以取﹣16，﹣4，8，32，

∴若公比|p|＞1，則p＝﹣2，由a2+2＝﹣4＝﹣2（a1+2）得：a1；

若公比|p|＜1，則p，由a2+2＝32（a1+2）得：a1＝﹣66．

綜上所述，滿足條件的a1所有可能值為﹣2，，﹣66．

故答案為：．