Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設AC=2a，BC=a，
（1）求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；
（2）求點A到平面VBC的距離；
（3）求二面角A-VB-C的大小。

Answer 1

解：（1）∵平面∥平面ABC， ∴， ， ∴， 又∵平面⊥平面ABC，平面∩平面ABC=AC， ∴BC⊥平面， ∴，∴， 又，， ∴B1C1為AB1與A1C1的公垂線。
（2）過A作于D， ∵△為正三角形， ∴D為B1C的中點， ∵BC⊥平面，∴BC⊥AD， 又， ∴AD⊥平面VBC， ∴線段AD的長即為點A到平面VBC的距離， 在正△中，， ∴點A到平面VBC的距離為。 （3）過D點作DH⊥VB于H，連AH，由三重線定理知AH⊥VB， ∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角， 在中，， △B1DH∽△B1BC，， ∴， ∴，∴， 所以，二面角A-VB-C的大小為arctan。