Question

【題目】若函數f（x）同時滿足以下三個性質；①f（x）的最小正周期為π；②對任意的x∈R，都有f（x﹣ ）=f（﹣x）；③f（x）在（ ， ）上是減函數．則f（x）的解析式可能是（ ）
A.f（x）=cos（x+ ）
B.f（x）=sin2x﹣cos2x
C.f（x）=sinxcosx
D.f（x）=sin2x+cos2x

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根據題意，函數應滿足：①f（x）的最小正周期為π；
②對任意的x∈R，都有f（x﹣ ）+f（﹣x）=0，
用x+ 替換式中的x可得f（x﹣ ）+f（﹣x﹣ ）=0，
即函數的圖象關于點（﹣ ，0）對稱；
③f（x）在（ ， ）上是減函數；
對于A，f（x）=cos（x+ ）的周期為T=2π，不符合①，故不滿足題意；
對于B，f（x）=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ），不符合②，故不滿足題意；
對于C，f（x）=sinxcosx= sin2x，不符合②，故不滿足題意；
對于D，f（x）=sin2x+cos2x= sin（2x+ ），符合①②③，滿足題意．
故選：D．