Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，在的延長(zhǎng)線上，且.

(1)證明:平面.

(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線，與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角能否等于?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)不能，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，得到即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角.

解：(1)證明:記的中點(diǎn)為，連接，過(guò)作交于，連接，

則，且.

因?yàn)?/span>平面，所以.

在中，，，易求，.

又，則.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，且，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)解:因?yàn)?/span>平面，所以，而是正方形，所以.

因?yàn)?/span>與顯然是相交直線，所以平面，

所以平面平面.

記的中點(diǎn)為，則平面，且.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)，，

所以，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

令，得.

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的大小是，則.

因?yàn)?/span>，所以，則，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，即二面角不可能為.