已知橢圓C的中心在原點，焦點F在
軸上，離心率
，點
在橢圓C上.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若斜率為
的直線
交橢圓與
、
兩點，且
、、
成等差數列，點M（1,1），求
的最大值.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：(1)設出橢圓標準方程
，根據已知條件解出
即可；（2）由題意可知，直線
的斜率存在且不為
，故可設直線的方程為
，A,B點坐標為
,聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理得
，然后利用直線
的斜率依次成等差數列得出
，又
，所以
，即
，然后求出弦長，計算三角形面積，求其最大值.
試題解析：1) 設橢圓方程為，由題意知
，…①
，…②
聯立①②解得，
，所以橢圓方程為 (4分)
2) 由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設直線的方程為滿足
，
消去
得
．
，
且，．
因為直線的斜率依次成等差數列，
所以，
，即
，
又，所以，
即． (9分)
聯立
易得弦AB的長為
又點M到
的距離
所以
平方再化簡求導易得
時S取最大值 (13分)
考點：橢圓標準方程、橢圓的離心率、直線方程、等差數列、點到直線的距離公式.
學練快車道快樂假期寒假作業系列答案
新思維寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，點
分別是橢圓C:
的左、右焦點，過點
作
軸的垂線，交橢圓
的上半部分于點
，過點
作
的垂線交直線
于點
.
（1）如果點的坐標為（4,4），求橢圓的方程；
（2）試判斷直線
與橢圓的公共點個數，并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知平面內一動點P到點F(1，0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，
=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，直線
與以原點為圓心、橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，
、
、
是橢圓的頂點，
是橢圓上除頂點外的任意點，直線
交
軸于點
，直線
交
于點
，設的斜率為
，
的斜率為
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在坐標原點，
焦點在x軸上，左、右焦瞇分別為F1，F2，且｜F1F2｜＝2，點P（1，
）在橢圓C上.
（I）求橢圓C的方程；
（II）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且
的面積為
，求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知左焦點為
的橢圓過點
．過點
分別作斜率為
的橢圓的動弦
，設
分別為線段的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
為線段
的中點，求
；
（3）若
，求證直線
恒過定點，并求出定點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為
，過任作直線
(與
軸不平行)交拋物線分別于
兩點，點
關于
軸對稱點為
，
（1）求證：直線
與軸交點
必為定點；
（2）過分別作拋物線的切線，兩條切線交于
，求
的最小值，并求當取最小值時直線的方程.
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，
為坐標原點，動直線
與
交于不同兩點
·
為常數；
的點
的軌跡方程。