Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosx，sinx），

c

=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．
（1）若α=

π

4

，求函數f（x）=

b

•

c

的最小值及相應x的值；
（2）若

a

與

b

的夾角為

π

3

，且

a

⊥

c

，求tan2α的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量點乘表示出函數f（x）的解析式后令t=sinx+cosx轉化為二次函數解題．
（2）根據向量a與b的夾角為

π

3

確定x-α=

π

3

，再由a⊥c可知向量a點乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再將x- α=

π

3

代入即可得到答案．

解答：解：（1）∵

b

=（cosx，sinx），

c

=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），α=

π

4

，
∴f（x）=

b

•

c

=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+

2

(sinx+cosx)．
令t=sinx+cosx（0＜x＜π），則t=

2

sin(x+

π

4

)，
則2sinxcosx=t²-1，且-1＜t≤

2

．
則y=f(x)=t2+

2

t-1=(t+

2

2

)2-

3

2

，-1＜t≤

2

．
∴t=-

2

2

時，ymin=-

3

2

，此時sinx+cosx=-

2

2

．
由于0＜x＜π，故x=

11π

12

．
所以函數f（x）的最小值為-

3

2

，相應x的值為

11π

12

；
（2）∵

a

與

b

的夾角為

π

3

，
∴coss

π

3

=

a•b

|a|•|b|

=cosαcosx+sinαsinx=cos(x-α)．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x-α＜π，∴x-α=

π

3

．
∵

a

⊥

c

，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．
∴sin（x+α）+2sin2α=0，sin(2α+

π

3

)+2sin2α=0．
∴

5

2

sin2α+

3

2

cos2α=0，
∴tan2α=-

3

5

．

點評：本題主要考查平面向量的坐標運算和數量積運算．向量一般和三角函數放在一起進行考查，這種題型是高考的熱點，每年必考．