Question

已知A（x₁，y₁），B（1，y₀），C（x₂，y₂）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的三點，F為橢圓的左焦點，且|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，則AC的垂直平分線是否過定點？請證明你的結論．

Answer 1

分析：線段AC的垂直平分線過定點(

1

4

，0)．利用焦半徑公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，可得ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化為x₁+x₂=2．設線段AC的中點坐標為（1，m），①若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．②當直線AC的斜率存在為k時，利用“點差法”可得

1

4

+

mk

3

=0，即mk=-

3

4

．可知k≠0．利用點斜式可得線段AC的垂直平分線方程為y-m=-

1

k

(x-1)，化為y=-

1

k

x+

1

k

+m，即y=-

1

k

x+

1+mk

k

，把mk=-

3

4

代入即可證明．

解答：解：線段AC的垂直平分線過定點(

1

4

，0)．
下面給出證明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，
∴ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化為x₁+x₂=2．
設線段AC的中點坐標為（1，m），若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．
當直線AC的斜率存在為k時，由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，相減可得

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，
∴

1

4

+

mk

3

=0，∴mk=-

3

4

．可知k≠0．
∵線段AC的垂直平分線方程為y-m=-

1

k

(x-1)，化為y=-

1

k

x+

1

k

+m，即y=-

1

k

x+

1+mk

k

，
∴y=-

1

k

x+

1

4k

，即y=-

1

k

(x-

1

4

)，當x=

1

4

時，y=0，
因此線段AC的垂直平分線過定點(

1

4

，0)．

點評：熟練掌握橢圓的焦半徑公式、等差數列的定義、分類討論的思想方法、線段的垂直平分線方程、過定點問題等是解題的關鍵．