Question

【題目】已知,如圖,在直二面角中,四邊形是邊長為的正方形,,且.

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）在線段（不包含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn),使得與平面所成的角為;若存在,寫出的值,若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理可得,結(jié)合,可得平面.

（Ⅱ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的法向量,設(shè)平面的法向量,計(jì)算可得二面角的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè),則,據(jù)此得到關(guān)于的方程，解方程可得.則在線段上存在點(diǎn)滿足題意.

試題解析：

（Ⅰ）證明:因?yàn)樵谥倍�面�?/span>中,四邊形是正方形,

所以,則平面,

又因?yàn)?/span>平面,所以,

因?yàn)?/span>,即,

所以平面.

（Ⅱ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系

則,,,.

平面的法向量,設(shè)平面的法向量,

因?yàn)?/span>,,

所以即

令,解得,則,

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)存在點(diǎn),使得與平面所成的角為,且,

則,,則有,

解得（舍）.

所以在線段上存在點(diǎn),使得與平面所成的角為,.