Question

已知雙曲線C₁：2x²－y²＝2m²(m＞0)，拋物線C₂的頂點在原點，焦點F與C₁的左焦點重合．

(1)求證C₁與C₂總有兩個不同的交點；

(2)是否存在過拋物線C₂的焦點F的弦AB，使△AOB的面積有最大值或最小值？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)C1的方程為－＝1①，它的左焦點為F(－m，0)，C2的方程為y2＝－4mx②，把②代入①整理得x2＋2mx－m2＝0(m＞0)③，因為Δ＝16m2＞0，故方程③有兩個不等的實根x1，x2，因為x1x2＝－m2＜0，不妨設x1＞0，x2＜0，則＝－4mx1＜0不成立，＝－4mx2＞0，故C1和C2總有兩個不同的交點． 　　(2)若AB⊥x軸，易得S△AOB＝AB·OF＝×4m·m＝6m2，若AB不垂直于x軸，設AB的方程為y＝tanθ(x＋m)(0＜θ＜π，且θ≠＝，代入C2得：y2＋4mycotθ－12m2＝0，因為|AB|＝，而|AB|＝＝，所以|y1－y2|＝|AB|sinθ＝·sinθ＝，所以S△AOB＝|y1－y2|·|OF|＝＞6m2，故S△AOB有最小值6m2，此時AB⊥x軸，AB方程為x＝m．