Question

利用數學歸納法證明“

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N)”的過程中，由“n=k”變成“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（　　）

• A．增加

  1

  2(k+1)

• B．增加

  1

  2(k+1)

  和

  1

  2k+2

• C．增加

  1

  2k+2

  ，并減少

  1

  k+1

• D．增加

  1

  2k+1

  和

  1

  2k+2

  ，并減少

  1

  k+1

Answer 1

分析：觀察不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N)左邊的各項，他們都是以

1

n+1

開始，以

1

2n

項結束，共n項，當由n=k到n=k+1時，項數也由k變到k+1時，但前邊少了一項，后面多了兩項，分析四個答案，即可求出結論．

解答：解：n=k時，左邊=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k+k

n=k+1時，左邊=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

(k+1)+(k+1)

由“n=k”變成“n=k+1”時，

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

故選D．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．