Question

已知奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），給出以下命題：
①函數f（x）是周期為2的周期函數；            
②函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③函數f（x）的圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱；
④若函數f（x）是（0，1）上的增函數，則f（x）是（3，5）上的增函數，其中正確命題有

①③

．

Answer 1

分析：利用奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），對該函數的周期性、對稱性及單調性進行分析，即可判斷①②③④中的正誤．

解答：解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）=f（x+2），
∴①函數f（x）是周期為2的周期函數，即①正確；
又f（x）=-f（-x），
∴f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）≠f（1-x），
∴函數f（x）的圖象不關于直線x=1對稱，故②錯誤；
又f（x）=f（x+2k），
∴f（x-k）=f（x+k）=-f（k-x），
∴f（k+x）=-f（k-x），
∴f（x）關于點（k，0）對稱，即③正確；
對于④，∵f（x）在（0，1）單調遞增，f（x）為奇函數，
∴f（x）在（-1，0）上單調遞增，又函數f（x）是周期為2的周期函數，
∴f（x）在（1，2）單調遞增，f（x）在（2，3）上單調遞增，但不能確定f（x）在（1，3）的單調性．
由上面的分析可得，f（x）在（3，5）的單調性與（1，3）的單調性相同，故④錯誤；
綜上所述，①③正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性、對稱性及單調性，考查綜合分析、轉化、解決問題的能力，屬于難題．