Question

如圖，是圓的直徑，點在圓上，，交于點，
平面，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）.

試題分析：（1）①根據在處取得極值，求導將帶入到導函數中，聯立方程組求出的值；②存在性恒成立問題，，只需，進入通過求導求出的極值，最值.（2）當的未知時，要根據中分子是二次函數形式按進行討論.
試題解析：（1）定義域為.
①,
因為在處取和極值，故,
即，解得.
②由題意：存在，使得不等式成立，則只需
由，令則，令則或，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減
所以在處取得極小值，
而最大值需要比較的大小,
,
,
比較與4的大小，而，所以

所以
所以.
（2）當 時，
①當時，則在上單調遞增；
②當時，∵ ，則在上單調遞增；
③當時，設，只需，從而得，此時在上單調遞減；
綜上可得，.